引用本文
金新灿, 张世强. 基于高速轮轴实测载荷的非参数拟合外推研究[J]. 北京交通大学学报, 2020,43(6): 97-103.
JIN Xincan, ZHANG Shiqiang. Non-parametric fitting extrapolation based on measured load of high-speed axle[J]. JOURNAL OF BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY, 2020,43(6): 97-103.
Doi:10.11860/j.issn.1673-0291.20190016  
Permissions
Copyright©2020, 北京交通大学学报编辑部
北京交通大学学报编辑部 所有
基于高速轮轴实测载荷的非参数拟合外推研究
金新灿, 张世强
北京交通大学 机械与电子控制工程学院,北京 100044

第一作者:金新灿(1961—),男,浙江诸暨人,副教授,博士.研究方向为结构强度与疲劳可靠性.email:xcjin@bjtu.edu.cn.

收稿日期: 2019-01-07
基金: 国家重点研发计划(2016YFB1200505); 中国铁路总公司科技研究开发计划课题(2017J003-C)
摘要

以高速动车组动车轮轴动应力线路实测数据为依据,通过载荷与应变之间的关系,结合包络线的方法,得到实时的轮轴载荷,并编制实测轮轴载荷谱.对实测的高速轮轴载荷谱进行了非参数核密度估计的拟合外推分析,对比了固定带宽核密度和自适应带宽核密度两种方法的极值预测结果以及扩展载荷谱与实测载荷谱的损伤差值,并讨论了外推倍数对两种方法的影响.结果表明:自适应带宽核密度法预测的极值和频次更接近于实测值,损伤误差更小,由有限数据外推高频次数据的精度更高,更适合于高速轮轴载荷谱的外推,并初步验证了拟合外推方法的合理性.

关键词: 高速列车; 轮轴载荷谱; 核密度; 分布拟合
中图分类号:U270.33 文献标志码:A 文章编号:1673-0291(2019)06-0097-07
Non-parametric fitting extrapolation based on measured load of high-speed axle
JIN Xincan, ZHANG Shiqiang
School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China
Fund:National Key R&D Plan(2016YFB1200505); Science and Technology Research and Development Program of China Railway Corporation(2017J003-C)
Abstract

Based on the measured data of dynamic stress on EMU axle in high-speed lines, the real-time axle load is obtained by analysis of the relationship between the load and the strain, combined with the envelope method. The measured axle load spectrum is thus compiled. Then it is analyzed through the fitting and extrapolation method, which the non-parametric kernel density is estimated.This paper compares the prediction results of the extremum of the fixed bandwidth kernel density and the adaptive bandwidth kernel density.Besides, the damage error between the extended load spectrum and the measured load spectrum is compared.The influence of extrapolation multiple on the two methods is then discussed.The results show that the extremum and frequencies predicted by the adaptive bandwidth kernel density method are closer to the measured values, and they have smaller damage error. Using finite data to extrapolate high-frequency data has higher accuracy, which is more suitable for the extrapolation of the high-speed axle load spectrum. Therefore, the fitting extrapolation method is proved to be feasible after preliminary analysis.

Keyword: high speed train; axle load spectrum; kernel density; distribution fitting

随着高速化的不断提升和发展, 轮轴在实际运行过程中所受到的载荷变得尤为重要.除了自身静态载重外, 还可能会受到振动、冲击等各种因素带来的影响, 这就需要对轮轴载荷进行实时的数据采集.载荷谱的精度会影响到疲劳寿命预测的准确性, 国内学者[1, 2, 3]针对高速列车结构疲劳强度问题进行了理论研究, 反映了载荷谱理论对于疲劳强度评估的重要性.由于线路实测试验时间与轮轴服役时间相差甚远, 仅根据实测载荷谱进行轮轴的疲劳强度校核以及寿命评估并不可靠, 因此需要对实测载荷谱进行拟合外推, 预测可能存在的极值.

文献[4]详细阐述了轮轴实测载荷谱的分析及研究.文献[5]分析了车轮扁疤对轮轨性能的影响, 其结果也表明对于轮轴载荷谱的研究, 需要考虑更全面的情况.因此, 国内外学者开展了对于外推载荷谱的研究.文献[6]综述了当前国内外载荷谱外推的基本方法, 最常用的是参数估计法.与此同时, 文献[7, 8]也表明, 由于载荷的随机性, 通过特定的函数来拟合真实的载荷分布本身就存在一定的误差, 因此, 近年来根据数据样本自身来研究分布特性, 而并不事先假定分布函数的非参数估计法正逐渐被运用到载荷谱的拟合外推中, 核密度估计便是主要的一种方法.文献[9]对飞机下沉速度谱进行了统计拟合, 运用核密度估计的方法成功地实现了飞机载荷谱的统计还原.文献[10]基于核密度拟合理论, 对高速列车动应力进行了拟合尝试, 初步实现了应力谱的扩展.文献[11]则基于核密度法对实测载荷进行拟合外推并编制了载荷谱, 但同时也表明, 与参数估计法相比, 核密度估计能够较好地反映真实的载荷分布, 但带宽可能会带来一定的计算误差, 因此如何合理地选取带宽会影响到核密度拟合外推的精确性.

目前, 针对载荷谱拟合外推的方法较多, 但很难直接确定较为适合轮轴载荷谱的拟合方法, 因此, 本文作者通过对线路实测数据进行处理, 识别出实时的轮轴载荷, 并基于固定带宽和自适应带宽两种核密度估计方法对实测载荷谱进行了拟合和外推, 对比不同外推倍数下的极值预测和损伤校核效果, 从而确定更适用于轮轴载荷谱的拟合外推方法.结果表明, 相比于固定带宽核密度方法, 自适应带宽的估计方法更符合高速轮轴载荷的真实分布, 外推得到的扩展载荷谱精度更高, 可以有效地用于疲劳强度评估.

1 实测载荷数据的获取

通过桥路的应变响应反映出轮轴所受到的载荷是一种典型的载荷识别方法.测力轮对主要受到垂向力、横向力和纵向力3个作用力, 纵向力产生影响的位置主要体现在车轴, 因而在车轮辐板上布片即可消除纵向力对应变的影响, 反映出垂向力和横向力.垂向和横向分别在不同半径沿车轮一周进行布片, 各自半径的选取根据只对单一载荷系是强响应, 对其他载荷系响应较低的原则[12], 即通过有限元仿真, 将横向载荷作用下应变输出为0的半径选取为垂向载荷的测点位置, 确保由测量应变推出载荷的精确性.应变片均按照惠斯通电桥的原理进行组桥, 如图1所示, 对辐板处8个孔分别进行了1~8的编号, 在每个孔两侧各粘贴应变片, 标记为A和B, 即孔1处的应变片编号为1A和1B.此时电路输出电压U0为

U0=(1/4)KUeε1+ε2+ε3+ε4(1)

式中:K为电阻式应变片的转换系数; Ue为电桥输入电压; ε w为各应变片的响应输出, w=1, 2, 3, 4; 使输出响应放大4倍, 测试数据结果更为精确, 从而得到连续的轮轴载荷[10].

图1 垂向桥路测点布置图及组桥图Fig.1 Layout of survey points on vertical bridge and bridging form diagram

在完成组桥后, 通过标定试验台对轮轴分别施加垂向和横向的加载, 得到各自的应力输出响应.车轮旋转一周时, 横向桥路的输出基本保持为一水平直线且各角度间波动不大, 因此只需对各角度下的输出响应进行包络线均值处理, 得到加载下的最终响应, 如图2(a)所示; 由于车轮的转动以及组桥原理, 车轮旋转一周时垂向桥路的输出呈现正负之间的波动, 一般默认载荷为正值, 因此, 对垂向桥路进行绝对值及去除干扰值等处理, 再通过取上、下包络线并对计算得到的中包络线进行均值处理, 得到加载下的最终响应, 如图2(b)所示.通过对不同加载下的响应进行最小二乘法拟合, 如图3所示, 即可确定垂向和横向桥路的标定系数.

图2 恒定加载下桥路不同角度的输出Fig.2 Output of bridge with constant load in different angles

图3 不同加载下桥路的应力输出响应Fig.3 Stress output responses under different loads

2 实测载荷谱的编制
2.1 载荷时间历程的处理

图4为载荷时间历程图.测力轮对在线路实测试验过程中, 通过设备采集到的数据为应变信号, 根据求得的标定系数, 结合弹性模量以及设备的动态灵敏度系数, 即可将应变时间历程转换为载荷时间历程.由于线路测试过程中, 信号或多或少会受到一定的外界干扰, 所以对采集到的原始信号需要进行频谱分析、去零漂、低通滤波等操作, 去除外界的干扰信号, 尽可能得到真实的轮轴载荷时间历程.

图4 载荷时间历程图Fig.4 Time-history diagram of load

2.2 载荷谱的编制

一般情况下, 实测载荷谱多是通过雨流计数法统计得到, 通过计算不同幅值所对应的频次, 得到不同级数下的载荷谱.对于轮轴而言, 一般取车轮旋转一周为一个载荷作用频次, 而实时轮轴载荷时间历程是通过包络线处理后得到的, 如果直接通过数据处理软件进行雨流计数法统计得到的频次与车轮实际旋转周次并不相符, 得到的载荷谱不能用于损伤分析, 因次, 通过编程处理对频次进行修正.

试验采样频率为5 000 Hz, 各样本点时间间隔仅为0.000 2 s, 因此, 把对实时的轮轴载荷的处理转换成对实时的载荷样本点的处理:首先, 通过将所需处理的时间段内所有载荷样本点进行统计, 得到载荷样本点的最大值以及最小值; 再根据编制的载荷谱级数, 对样本点进行分组, 确定组值区间; 将统计的载荷样本点依次存放入对应的组值区间内, 从而初步得到载荷的分布情况.通过采集的各载荷样本点所对应的速度信号、时间间隔以及车轮周长即滚动圆周长, 计算得到每个载荷样本点所对应的车轮旋转周次, 从而得到各载荷组值区间所对应的频次, 即得到最终的轮轴实测载荷谱, 流程均通过Matlab编程计算.

基于提出的Matlab法对不同线路下的实测载荷作用频次进行了修正并编制了32级载荷谱, 如图5所示为4条不同线路下的载荷谱分布情况.

图5 实测垂向载荷谱和横向载荷谱Fig.5 Measured vertical and transverse load spectrum

可以看出, 不同线路下的载荷谱虽略有偏移, 但整体分布情况相似.由于轮轴垂向载荷以及横向载荷的分布趋势基本相同, 因此仅以垂向载荷为例进行拟合外推的研究分析.

3 拟合外推

对于随机性较强的载荷谱而言, 非参数外推法得到了广泛的应用, 核密度估计便是主要方法之一, 由于带宽决定了核密度的精度, 因此对固定带宽以及自适应带宽两种核密度外推法进行了对比, 通过极值预测、损伤误差以及受外推倍数的影响情况, 确定更适合于轮轴载荷的外推方法.

3.1 核密度估计原理

在对原始数据进行拟合分析时, 核密度估计在计算某一点周围的数据分布时, 充分考虑其统计特性.对于轮轴载荷谱一般采用一维核密度估计法, 其定义为:X为随机变量, X1, X2, …, Xi为来自X的一个实测样本, 则X的概率密度函数f(x)的核估计函数为

fx=1nh∑i=1nK(x-Xih)(2)

式中:K x-Xih为核函数, 是一个已知给定的概率密度函数; h为带宽系数; i为样本容量.在给定样本后, 核估计的精度则取决于核函数及带宽的选取[10].当给定带宽系数时, 不同核函数对估计误差的影响是很小的[13], 一般选取高斯函数为核函数.带宽h的选择与样本量n有关, 在考虑风险交叉验证估计的条件下, 根据样本容量及分布情况, 计算得到合理的带宽h为

h=σA(k)i-16(3)

σ=min(σx)(4)

式中:σ x为样本数据的标准差; A(k)对于高斯函数取值为2.4[14].在实际运用中, 很难保证根据公式计算的带宽为最优解, 且由图5可知, 极值两端数据分散性大, 中心数据分散性较小, 所以为进一步分析拟合效果, 对带宽h进行自适应修正, 引入带宽自适应因子μ 为

μ=p(xi)ga(5)

p(xi)=ci∑i=1nci(6)

lg(g)=1n∑i=1nlgp(xi)(7)

式中:ci为各载荷样本点xi出现次数, a取-0.5[15-17].将式(6)、式(7)的结果带入到式(5)中, 即可求解得到带宽自适应因子μ .与固定带宽的核密度相比, 自适应带宽就是根据已有数据样本点的概率, 通过自适应因子来改变概率密度估计的影响半径, 分散性较大的两端极值会扩大带宽, 分散性较小的中心数据则会相应地缩小带宽.

3.2 实例拟合

图6为实侧和拟合的概率密度对比, 由图6中所示的差值可知两种方法在曲线两端部分均有较好的拟合效果, 而在曲线拐角以及频次较多的中心区域, 相比于固定带宽法, 自适应带宽法明显提高了拟合的概率精度, 差值平均降低了5倍, 说明在曲线形状过渡和高概率区域考虑数据样本点自身的概率尤为重要.

图6 拟合与实测概率密度对比Fig.6 Comparison of fitting and measured probability density

为进一步从损伤角度进行分析, 对概率密度函数积分得到分布函数, 结合实测频次得到拟合载荷谱, 如表1所示.表1将实测与拟合载荷谱的频次进行了对比, 通过数值可以直观地发现自适应带宽估计得到的频次更接近于实测的载荷作用次数, 尤其是在循环次数较多的中心区域.

表1 实测载荷谱与拟合载荷谱 Tab.1 Measured load spectrum and fitting load spectrum

为了分析频次的差距对损伤产生的影响, 从而进一步验证拟合的可靠性, 对两种拟合方法得到的轮轴载荷谱进行了损伤对比, 通过Miner线性累积损伤原理及S-N曲线可得, 载荷谱所造成的损伤D为

D=∑l=116al(Plk)mC(8)

式中:l表示载荷谱级数, al为载荷谱中第l级的频次, Pl为第l级载荷谱的幅值, k为载荷与测点的载荷应力传递系数, m和C为S-N曲线常数.根据公式计算得出载荷谱每级对车轴截面造成的损伤, 在此以试验中, 车轴应力最大的截面(轮座外侧面)为例进行损伤检验, 结果如图7所示.

图7 实测与拟合载荷谱损伤值对比Fig.7 Comparison of damage values between measured and fitting load spectrum

两种拟合方法得到的损伤曲线与实测损伤曲线总体趋势一致, 但通过计算总损伤量发现, 自适应带宽法的拟合损伤与实测损伤的误差为1.9%, 比固定带宽法的误差减小了4%, 损伤主要还是由循环次数较多的大幅值载荷影响, 因此高频次载荷的拟合精度降低了自适应带宽法的损伤误差.从损伤量分析, 两种方法得到的损伤均大于实测值, 这对于工程运用安全方面是有好处的, 具有更高的安全性, 而自适应带宽法能够在确保安全余量的前提下得到更精确的疲劳寿命.

3.3 外推验证

载荷谱进行拟合的目的, 是为了通过已有的实测试验数据样本拟合外推得到总频次更大的扩展载荷谱, 预测可能存在的极值, 从而使对轮轴的疲劳强度校核更加可靠.因此, 为进一步验证外推的可靠性, 以线路实测全程数据为总体, 以实测试验中的单程线路数据为样本, 基于样本数据, 通过两种核密度估计的方法外推出与实测总体频次相同的扩展载荷谱, 并与实测的全程载荷谱进行损伤对比, 从而验证由有限频次的样本数据外推出更高频次的扩展载荷谱的可靠性, 结果如图8和图9所示.

图8 实测样本载荷外推结果对比Fig.8 Comparison of load extrapolation results from measured sample

图9 拟合外推载荷谱与实测载荷谱损伤对比Fig.9 Damage comparison between load spectrum under fitting extrapolation method and measured load spectrum

图8中实测总体数据的总频次为106次, 考虑到样本必须能够充分反映轮轴载荷的分布情况, 分别选取105次和104次的数据作为样本进行外推, 对比了外推10倍和100倍的效果.由图可知, 核密度法外推的趋势基本接近实测曲线, 各点间的相对差值较小; 从极值角度考虑, 实测极值为102.03 kN, 随着外推倍数的扩大, 自适应带宽法预测的极值由102.4 kN变为102.9 kN, 固定带宽法预测的极值则从102.86 kN增大到103.89 kN, 说明在相同外推倍数的条件下, 自适应法外推得到的极值精度更高.当外推倍数增加时, 外推效果虽略有下降, 但是误差仅增大了0.49%.可见, 对于随机性较强的轮轴载荷来说, 实测频次越多得到的载荷分布形状越趋于稳定, 此时进行外推得到的极值显然更符合实际情况, 而当样本量较小时, 由于自适应带宽估计时依据数据样本点自身的概率, 因此能够尽可能的降低预测极值的偏差, 避免计算得到的结果过于保守.

图9为从损伤校核的角度进行分析的结果, 随着外推倍数增加, 扩展载荷谱与实测载荷谱的损伤差值也有所增加, 自适应带宽法得到的扩展载荷谱与实测载荷谱的总损伤误差由3.8%增大到4.5%, 固定带宽法外推得到的载荷谱与实测载荷谱的总损伤误差由7.4%增大到11%, 在外推倍数达到100倍时固定带宽法的误差基本接近于自适应法的3倍, 而且在外推倍数从10倍扩大到100倍时, 自适应法的误差仅增大了0.7%.

由不同倍数下的损伤误差可知, 即使在更高的外推倍数下, 自适应法仍然能保持较高的精确性, 这对于高循环次数的轮轴载荷极为重要.因此从多方面考虑, 在实测数据有限的情况下, 自适应带宽核密度法能够在保证运用安全的前提下提高扩展载荷谱的精度, 不至于使计算结果过于保守, 更适用于轮轴载荷谱的高倍拟合外推研究.

4 结论

1)针对轮轴实时载荷谱的编制提出了修正方法, 基于样本点的速度信号计算得到车轮的旋转周次即载荷的实际作用频次, 并编制了垂向和横向的载荷谱.

2)基于概率密度和损伤误差对两种带宽的核密度估计拟合效果进行对比分析, 结果表明自适应带宽法对实测数据拟合的效果更好, 最大损伤误差仅为1.9%, 且相比于固定带宽法减小了4%, 对实测载荷的还原度更高.

3)提出的自适应带宽核密度法能有效地对轮轴载荷进行高倍数外推, 随着外推倍数的增加, 损伤误差仅增大了0.7%, 且预测的极值更接近于实际值, 在保证轮轴具有运用安全余量的情况下, 提高了扩展载荷谱的精度.

参考文献
[1] 李强, 刘志明, 张桂青, 等. 提速客车转向架动应力分布拟合的研究[J]. 铁道学报, 2001, 23(4): 105-108.
LI Qiang, LIU Zhiming, ZHANG Guiqing, et al. Research on distribution of dynamic stress for speed increased passenger car bogies[J]. Journal of the China Railway Society, 2001, 23(4): 105-108. (in Chinese) [本文引用:1]
[2] 周素霞, 谢基龙, 赵方, 等. 基于概率分布函数的动车组车轴应力谱试验分析[J]. 中国铁道科学, 2013, 34(2): 95-99.
ZHOU Suxia, XIE Jilong, ZHAO Fang, et al. Experimental analysis on the stress spectrum of EMU axle based on probability distribution function[J]. China Railway Science, 2013, 34(2): 95-99. (in Chinese) [本文引用:1]
[3] 李凡松, 邬平波, 曾京. 车下设备承载结构疲劳试验载荷谱编制方法[J]. 机械工程学报, 2016, 52(24): 99-106.
LI Fansong, WU Pingbo, ZENG Jing. Compilation method of fatigue test load spectrum for underfloor equipment bearing structure[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(24): 99-106. (in Chinese) [本文引用:1]
[4] 金新灿, 张晓斌, 周康. 高速列车轮轴载荷谱编制及疲劳强度分析[J]. 北京交通大学学报, 2018, 42(4): 113-120.
JIN Xincan, ZHANG Xiaobin, ZHOU Kang. Study on load spectrum compilation and fatigue strength of high-speed train wheel axle[J]. Journal of Beijing Jiaotong University, 2018, 42(4): 113-120. (in Chinese) [本文引用:1]
[5] 杨光, 任尊松, 袁雨青. 车轮扁疤伤损对高速列车轮对动力学性能影响[J]. 北京交通大学学报, 2018, 42(3): 103-111.
YANG Guang, REN Zunsong, YUAN Yuqing. Influence of wheel flat on dynamic performance of high-speed train wheelset[J]. Journal of Beijing Jiaotong University, 2018, 42(3): 103-111. (in Chinese) [本文引用:1]
[6] 刘岩, 张喜逢, 王振雨, 等. 载荷谱外推方法的对比[J]. 现代制造工程, 2011(11): 8-11.
LIU Yan, ZHANG Xifeng, WANG Zhenyu, et al. Contrast of extrapolations in compiling load spectrum[J]. Modern Manufacturing Engineering, 2011(11): 8-11. (in Chinese) [本文引用:1]
[7] SOCIE D F, POMPETZKI M A. Modeling variability in service loading spectra[J]. Journal of ASTM International, 2004, 1(2): 1-12. [本文引用:1]
[8] 宫海彬, 苏建, 王兴宇, 等. 基于极值外推的高速列车齿轮传动装置载荷谱编制[J]. 吉林大学学报(工学版), 2014, 44(5): 1264-1269.
GONG Haibin, SU Jian, WANG Xingyu, et al. Compiling method of load spectrum of high-speed train gear drive system base on extreme value extrapolation[J]. Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition), 2014, 44(5): 1264-1269. (in Chinese) [本文引用:1]
[9] 汤阿妮. 基于核密度估计算法的飞机载荷谱统计技术[J]. 北京航空航天大学学报, 2011, 37(6): 654-657.
TANG Ani. Technique of aircraft loads spectrum statistics based on kernel density estimation[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2011, 37(6): 654-657. (in Chinese) [本文引用:1]
[10] 陈道云, 孙守光, 李强. 一种新的高速列车动应力谱分布估计方法[J]. 机械工程学报, 2017, 53(8): 109-114.
CHEN Daoyun, SUN Shouguang, LI Qiang. A new dynamic stress spectrum distribution estimation method of high-speed train[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2017, 53(8): 109-114. (in Chinese) [本文引用:3]
[11] 李研. 轮式装载机载荷谱编制中非参数外推方法研究[D]. 长春: 吉林大学, 2016.
LI Yan. Research on non-parametric extrapolation method in compiling load spectra of wheel loader[D]. Changchun: Jilin University, 2016. (in Chinese) [本文引用:1]
[12] 王常龙. 高速直辐板测力轮对标定方法研究[D]. 北京: 北京交通大学, 2016.
WANG Changlong. Study on calibration method of high speed straight spoke instrumented wheel-set[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2016. (in Chinese) [本文引用:1]
[13] 陈希儒, 柴根象. 非参数统计教程[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 1993.
CHEN Xiru, CHAI Genxiang. Nonparametric estimation[M]. ShangHai: East China Normal University Press, 1993. (in Chinese) [本文引用:1]
[14] ROTH J S. Statistical modeling of rainflow histograms[D]. Urbana-Champaign: University of Illionis at Urbana-Champaign, 1998. [本文引用:1]
[15] SILVERMAN B W. Density estimation for statistics and data analysis[M]. Boca Raton: Chemical Rubber Company Press, 1986. [本文引用:1]
[16] ABRAMSON I S. On band width variation in kernel estimates: a square root law[J]. The Annals of Statistics, 1982, 10(4): 1217-1223. [本文引用:1]
[17] 易当祥, 吕国志, 周雄伟. 用概率推断法确定多工况二维疲劳设计谱的载荷最大值[J]. 应用力学学报, 2006, 23(3): 484-487.
YI Dangxiang, LYU Guozhi, ZHOU Xiongwei. Maximal loading calculation for two dimensional fatigue design spectrum under multiple working conditions with probability extrapolation method[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2006, 23(3): 484-487. (in Chinese) [本文引用:1]