一种大型球冠蜂窝灌注机器人结构设计与分析
杨会, 房海蓉, 周昌春, 曲海波
北京交通大学 机械与电子控制工程学院,北京 100044

第一作者:杨会(1992—),女,河南周口人,博士生.研究方向为并联机器人机构学.email:15116342@bjtu.edu.cn

摘要

针对航天器中大型球冠蜂窝防热层结构自动灌注问题,设计了一种3自由度混联灌注机器人,并建立灌注机器人的机构模型.该混联机器人结构紧凑、驱动简单、占地面积小,末端灌注装置始终垂直于球冠面移动,有利于蜂窝结构的灌注;采用多机器人操作模式,提高了灌注效率.通过建立运动学约束方程,分析了机构的运动学反解,同时建立了机构的速度雅可比矩阵,在此基础上,利用一种高效的数值正解算法分析了运动学正解,并通过对位置正解的分析得出灌注机器人的整个工作空间,并基于速度雅可比矩阵对机构的灵巧性和奇异性进行分析.结果表明灌注机器人能够实现对蜂窝结构的精确定位,且工作空间能够达到整个球冠面,满足蜂窝防热层结构的灌注要求.

关键词: 球面并联机构; 灌注机器人; 运动学; 性能分析
中图分类号:TH112 文献标志码:A
Structure design and analysis of perfusion robot for a large-scale spherical honeycomb
YANG Hui, FANG Hairong, ZHOU Changchun, QU Haibo
School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China
Abstract

A three degrees of freedom (DOF) hybrid perfusion robot was designed, and the architectural model of the robot was constructed. The structure of the hybrid robot is simple and compact, and the robot takes a little space. The end of the perfusion apparatus always perpendicularly moves to the surface of spherical honeycomb, which is conducive to honeycomb perfusion. To improve the efficiency of the perfusion, the robot adopted the mode of multi-robot operation. Firstly, the kinematics constraint equations were established, through which the inverse kinematics was solved and velocity Jacobian matrix of the mechanism was established. Secondly,by using an efficient algorithm of numerical forward solution, the direct kinematics was analyzed, and the workspace of the mechanism was calculated based on the direct kinematics. Finally, kinematic dexterity and singularity of the mechanism were analyzed based on Jacobian matrix. It is concluded that the perfusion robot could achieve precise positioning of the honeycomb structure and reach the overall spherical surface, which can satisfy the perfusion requirements of thermal protection layer structure.

Keyword: spherical parallel mechanism; perfusion robot; kinematics; performance analysis

航天器在上升和再入太空阶段受到巨大的气动加热效应, 为保证飞行员的安全和机载仪器的正常运转, 需要在航天器的外部铺设防热层结构[1].目前航天器防热层结构通常采用正六边形蜂窝板结构[2, 3], 通过对蜂窝结构进行防热材料灌注来实现热防护的功能[4].

目前, 国内外大多采用人工进行灌注, 但球冠蜂窝的外形尺寸较大, 该灌注方式效率低, 同时由于球冠面的特殊形状, 末端灌注装置应始终垂直于球冠面进行灌注作业, 为了解决球冠蜂窝灌注的效率低下问题, 需要设计出能够满足灌注要求的自动灌注机器人.

球面并联机构具有结构简单、工作空间大等优点, 并广泛应用于医疗、航天、机器人等领域.传统的球面3-RRR并联机构首先由ASADA[5]等提出, 有学者在此基础上提出仅采用2条支链, 进而形成具有封闭环结构的球面5R并联机构, 并应用于定位装置[6]、牙颌模型数字化扫描装置[7]等领域.文献[8, 9, 10, 11]对球面5R并联机构进行了运动学、工作空间和奇异性等性能的分析.但以上研究只是对机构构型的分析, 和实际应用结合较少, 而且对于机构的尺度综合方面研究也比较少.

对于以上研究不足, 本文作者提出将球面并联机构应用于蜂窝防热层灌注方面, 通过球冠尺寸对灌注机器人进行尺度的综合, 使末端操作装置始终垂直于球面运动, 而且末端操作器能够到达的最高点为球面的顶点, 并采用多机器人操作的模式, 大大提高了灌注效率.

1 机构描述

球冠蜂窝均匀地分布在球面上, 由于球冠面较大, 将其划分为3个区域, 每个机器人负责一个区域, 共同完成灌注作业.如图1所示, 该蜂窝灌注系统是由3套相同的机器人组成, 均匀分布在球冠蜂窝周围, 混联灌注机器人机构主要由球面并联机构和串联在末端的空心丝杠灌注装置构成, 其中球面并联机构由伺服电机和减速器驱动, 灌注装置由直线电机驱动.

图1 混联灌注机器人模型Fig.1 Model of hybrid perfusion robot

灌注装置的结构如图2所示, 主要由直线电机驱动的空心丝杠、软管套、送料管、轴套、紧定螺栓、压实物料圆盘组成, 通过球面机构的移动和空心丝杠的移动分别实现灌注装置的定位和灌注装置沿蜂窝轴线的移动, 送料管与外部供料装置连接在一起, 并通过空心丝杠将物料灌入蜂窝结构.

图2 灌注装置的放大结构Fig.2 Enlarged structure of perfusion apparatus

2 方向余弦和约束方程建立

为了更清楚地表达球面机构各运动支链参数之间的关系, 如图3所示, 该图表示了其中一个机构的参数, 选取广义参考点P1作为机构的输出点, 它通过2个串联运动链分支P1N1M1P1N2M2与固定平台上弧M1M2相连接, 该机构所有运动链的转动副轴线都汇交于球心O点.基于对称性原则[12], 选取对称结构参数来设计并联机器人, 选取单位球进行研究, 转动副轴线OM1OM2之间的夹角为α , 轴线OM1ON1之间的夹角为β , 轴线ON1OP1之间的夹角为γ , 另一条支链具有同样的参数, 为了3个机器人更好地协作, 灌注装置工作范围不能超过球面的顶点, 故令α =60° , β =γ =45° ; 杆M1N1M1M2之间的夹角为θ 1, 杆N1M1N1P1之间的夹角为θ 2, 杆P1N1P1N2之间的夹角为θ 3, 杆N2M2N2P1之间的夹角为θ 4, 杆M2N2M2M1之间的夹角为θ 5, 其中θ 1θ 5为驱动角, 直线OP1z轴的夹角为ϕ 1, OP1O-xy面的投影与x轴正向的夹角为φ 1.OMi(i=1, 2, …, 6)的长度为R.

图3 混联灌注机器人机构简图Fig.3 Diagram of the mechanism of hybrid perfusion robot

建立如图3所示的固定坐标系O-xyz和动态坐标系O-xiyizi(i=1, 2, …, 6), 其中动态坐标系O-x1y1z1和固定坐标系O-xyz重合, 所有坐标系z轴都为过中心O点的垂直轴, 它与弧M1M2所在的平面垂直, xi轴沿OMi所在的轴线由O指向Mi.动态坐标系O-xiyizi(i=1, 2, …, 6)由固定坐标系O-xyzz轴逆时针旋转η i角度得到, η i= (i-1)π3, (i=1, 2, …, 6).为了求得转动副MiNi的方向余弦, 建立相邻杆件之间的局部坐标系O-xijyijzij(i=1, 2, …, 6, j=1, 2, …, 5), 本文只求转动副M1N1M2N2的方向余弦, 局部坐标系O-x1jy1jz1j(j=1, 2, …, 5)中x1j分别沿转动副M1N1、P1N2M2的轴线方向.

采用D-H参数表示球面并联机构中各构件的结构参数, 由该类机构的特点可知, 各转动副轴线都汇交于球心O点, 即参数aj=0, dj=0, (j=1, 2, …, 5), 如图4所示.

图4 D-H参数示意图Fig.4 Diagram D-H parameters

杆件仅有关节角θ j和转角α j两个结构参数, 通过后置坐标系建立连杆结构参数, 其中关节轴线方向为x轴, z1jx1(j-1)xj都垂直, 转角α j为各连杆对应的圆心角, α 1=α , α 2=α 5=β , α 3=α 4=γ , 关节角θ j为相邻各连杆间夹角.

Tj(j=1, 2, …, 5)为基于D-H参数构件j相对于构件j-1的坐标变换, 即

Tj=Rot(x, θj)Rot(z, αj)(1)

Tj-1(j=1, 2, …, 5)为基于D-H参数构件j-1相对于构件j的坐标变换, 即

Tj-1=Rot(z, αj)Rot(x, θj)(2)

转动副N1在分支坐标系O-x12y12z12中的坐标为

n12=[R00]T(3)

n12左边乘以T1得到在固定坐标系O-xyz中的坐标为

n11=[Rcosβ Rsinβcosθ1 Rsinβsinθ1]T=[r1 s1 t1]T(4)

转动副N2在分支坐标系O-x14y14z14中的坐标为

n24=[RcosβRsinβ0]T(5)

n24左边乘以 T5-1得到其在固定坐标系O-xyz中的坐标为

n21=Rcosαcosβ-Rsinαsinβcosθ5Rcosβsinα+Rsinβcosαcosθ5Rsinβsinθ5=r2s2t2(6)

主轴OP的轴线矢量为p1, p1的位置坐标为p1= x1y1z1T, 由图3表示p1的相关参数可得其方向余弦为

p1=Rsinϕ1cosφ1Rsinϕ1sinφ1Rcosϕ1=x1y1z1(7)

根据机构的结构特点, 存在如下约束方程:

n11·p1=R2cosγn21·p1=R2cosγ(8)

以上为其中一个机器人的方向余弦和约束方程的建立过程, 另外两个机器人分析方法同上, 若将Ni(i=3, 4, …, 6)的方向余弦转化到固定坐标系下, 可通过Ni(i=3, 4, …, 6)在各自动坐标系O-xiyizi(i=3, 4, …, 6)下的方向余弦左边乘以旋转矩阵Ri=Rot(z, η i), (i=3, 4, 5, 6)得到.

3 运动学分析
3.1 位置反解分析

已知灌注装置的位置参数(ϕ 1, φ 1), 求解混联机构输入(θ 1, θ 5), 即球面灌注机器人的位置反解.

将约束方程(8)展开, 并整理成如下形式:

Eisinθi+Ficosθi=Gi(9)

式中:i=1或i=5; E1=Rsin β · z1; F1=Rsin β · y1; G1=-Rcos β · x1+R2cos γ ; E5=Rsin β · z1; F5=R(sin β cos α · y1-sin α sin β · x1); G5=R2cos γ -R(cos α cos β · x1+cos β sin α · y1).

令tan(θ i/2)=σ i, 可得sin θ i=2σ i/(1+ σi2), cos θ i=(1- σi2)/(1+ σi2), 则式(9)可转换为

(Fi+Gi)σi2-2Eiσi+(Gi-Fi)=0(10)

求得

σi=Ei±Ei2+Fi2-Gi2Fi+Gi(11)

可解得

θi=2arctanσi(12)

由式(11)和式(12)可得, 该混联机器人共有4组位置反解.

3.2 雅可比矩阵的建立

雅可比矩阵的建立是灵巧度、刚度及奇异性等性能分析的基础, 雅可比矩阵有多种求解方法, 本文采用求偏导数的方法, 分别对约束方程式(8)中x1y1z1θ 1θ 5求有关时间的偏导数, 并写成矩阵形式, 即可求得雅可比矩阵.

化简式(8), 并令

H1=(Rcosβ)x1+(Rsinβcosθ1)y1+  (Rsinβsinθ1)z1-R2cosγH5=R(cosαcosβ-sinαsinβcosθ5)x1+  R(cosβsinα+sinβcosαcosθ5)y1+  R(sinβsinθ5)z1-R2cosγ(13)

将上式进行泰勒一阶展开并同时除以Δ t可得:

Hix1x·1+Hiy1y·1+Hiz1z·1+Hiθiθ·i=0(14)

整理成如下矩阵的形式:

Ap˙1=Bθ˙(15)

其中

p˙1=x˙1y˙1z˙1, θ˙=θ˙1θ˙5, A=H1x1H1y1H1z1H5x1H5y1H5z1, B=-H1θ100H5θ5, H1x1=Rcosβ,

H1y1=Rsin β cos θ 1, H1z1=Rsin β sin θ 1,

H5x1=R(cos α cos β -sin α sin β cos θ 5),

H5y1=R(cos β sin α +sin β cos α cos θ 5),

H5z1=R(sin β sin θ 5),

H1θ1=-(Rsin β sin θ 1)y1+(Rsin β cos θ 1)z1,

H5θ5=(Rsin α sin β sin θ 5)x1-(Rsin β cos α sin θ 5)y1+R(sin β cos θ 5)z1.

将(7)式对时间求导:

p˙1=x˙1y˙1z˙1=Dϕ˙1φ˙1D=Rcosϕ1cosφ1-sinϕ1sinφ1cosϕ1sinφ1sinϕ1cosφ1-sinϕ10(16)

Jo=A· D, Ji=B, 则矩阵可转化为

Joϕ˙1φ˙1=Jiθ˙1θ˙5(17)ϕ˙1φ˙1=Jo-1Jiθ˙1θ˙5=J1θ˙1θ˙5(18)

式中J1为球面机构的雅可比矩阵.

3.3 位置正解分析

位置正解的基本思路是给定机构输入(θ 1, θ 5), 求解机构位置参数(ϕ 1, φ 1).由非线性约束方程式(8)可知, 正解参数不易求得.本文采用文献[13]的位置正解算法, 该方法通过对初始位姿参数所对应的输入角度和给定输入角度的偏差进行迭代求解, 使初始的输入角度逐渐逼近给定输入角度, 即末端操作器的位姿逐渐逼近实际位姿.

用(ϕ 10, φ 10)来表示末端灌注装置的初始位姿, 显然, 假定的初始姿态和实际的位姿一般是不符合的, 因此假定初始姿态的输入角度和给定输入角度是不一致的.从位置反解分析过程中优选出给定(ϕ 10, φ 10)所对应的4组反解中的一组作为输入角度( θ1(1), θ5(1)), 实际输入角度为(θ 1, θ 5), 则两者的偏差为

Δθ1(1)=θ1(1)-θ1Δθ5(1)=θ5(1)-θ5(19)

根据末端输出变量和输入位移变量之间的映射关系得

θ˙1θ˙5=J1-1ϕ˙1φ˙1(20)

若用所求的Δ θ1(1)Δ θ5(1)表示输入角度的增量, 用Δ ϕ1(1)、Δ φ1(1)表示位姿的增量, 则上式变为

Δθ1(1)Δθ5(1)=J1-1Δϕ1(1)Δφ1(1)(21)

由此可根据Δ θ1(1)、Δ θ5(1)来求出修正量Δ ϕ1(1)、Δ φ1(1), 各式中的上标表示第一次修正, 即位姿从初始状态修正为ϕ 11=ϕ 10ϕ1(1)φ 11=φ 10φ1(1), 进而求得修正输入角度为( θ1(2), θ5(2)).显然, 经过第一次修正, 末端操作器的位姿向实际位姿有所逼近.根据修正后的位姿进一步求得输入角度的偏差值( θ1(2), θ5(2)), 再根据式(21)求得末端操作器位姿的第二次修正量Δ ϕ1(2)、Δ φ1(2), 同时, 初始位姿参数修正为ϕ 12=ϕ 11ϕ1(2), φ 12=φ 11φ1(2).重复以上迭代过程, 直到输入角度的最大偏差值max Δθ1(n)、max Δθ5(n)小于指定的允许误差值ε (本文取ε =0.009)为止, 此时末端操作装置的位姿(ϕ 1n, φ 1n)即为机构运动学正解近似值.

为了验证机构位置正解模型的正确性, 给定灌注机器人末端操作器特定位姿, 求得4组驱动杆件的输入角度, 选出一组最优参数列表, 如表1所示.

表1 位置反解计算结果 Tab.1 Calculation results of inverse displacement (° )

将位置反解求得的驱动杆件最优输入角度和末端装置输出角度作为上述位置正解迭代法的初始值, 求得末端灌注装置的位姿, 如表2所示.

表2 位置正解计算结果 Tab.2 Calculation results of forward displacement (° )

对比上表中位置正反解的计算结果发现, 当设定允许误差值ε =0.009时, 误差范围在0.009° 以内, 所求参数全在误差范围以内, 证明了位置正解过程采用上述迭代法的正确性.

4 运动性能分析
4.1 工作空间分析

将球冠蜂窝划分成3个区域, 如图5所示, 每个区域在固定坐标系下的坐标参数范围表示如下:

第一工作区域

Q1: 0°ϕ155°-30°φ190°.

第二工作区域

Q2: 0°ϕ255°90°φ2210°.

第三工作区域

Q3: 0°ϕ355°210°φ3330°.

图5 整体工作空间示意图(单位:mm)Fig.5 Diagram of the whole workspace(unit:mm)

如图5所示, 该工作空间是在不考虑干涉的情况下灌注机器人所有位置正解的集合, 整个球冠面由3个球面区域组成, 每个球面区域形状相同, 即为1/3球冠面, 代表灌注机器人末端灌注装置的工作空间.

图5中虚线为每个工作区域的边界线, 每个机器人工作空间的边线都完全重合, 说明在不考虑干涉的情况下多机器人的协作能够达到整个球冠蜂窝的工作范围.

图6为整体工作空间的俯视图, 说明各个工作空间没有重叠的部分.对于球冠边界上蜂窝的灌注, 第一台机器人负责该工作区域φ 1=90° 边线上的蜂窝, 第二台机器人负责该工作区域φ 2=210° 边线上的蜂窝, 第三台机器人负责该工作区域φ 3=330° 边线上的蜂窝, 通过3台机器人的协同操作, 共同完成球冠蜂窝的灌注作业, 大大提高了灌注的效率.

图6 整体工作空间俯视图(单位:mm)Fig.6 Plan view of the whole workspace(unit:mm)

4.2 灵巧性分析

当机器人接近特殊位形时, 其雅可比矩阵属于病态矩阵的范畴, 此时逆矩阵精度降低, 从而使得该机构的输入输出运动间的传递失真, 灵巧度则为衡量这种失真程度的指标[14].Salisbury等[15]提出采用雅可比矩阵的条件数作为机器人的灵巧度.由于球面机构和末端移动副为解耦的关系, 本文只需分析球面并联机构的灵巧性.

目前常采用谱范数计算矩阵的条件数, 定义为

κ(J1)=J1J1-1(22)

式中

J1=maxx=1J1x(23)

对式(22)两边取平方可得:

J12=maxx=1xTJ1TJ1x(24)

J12即为矩阵 JT1J1的最大特征值.如果J1为非奇异矩阵, 那么 JT1J1为正定矩阵, 特征值都为正数.

由此可知, J1的谱范数是该矩阵的最大奇异值, 其值为σ max= tr(JT1J1), 同理 J1-1的谱范数为矩阵最小奇异值的倒数, 其值为1min, 那么

1κ(J1)=σmaxσmin< (25)

当条件数等于1时, 机构的灵巧度最好, 此时机构被称为各向同性机构; 相反, 如果条件数趋于无穷大, 机构趋近于奇异位置.因此, 条件数越接近于1, 机构的灵巧度越好.在本文中采用1(J1)来衡量灵巧度的性能指标, 即κ (J1)值越接近于1, 该机器人的运动传递性能越好.

在规定的工作空间内对机构的条件数进行计算分析, 绘制了随着φ 1, ϕ 1的变化, 灌注机器人机构条件数k倒数的分布, 如图7所示.

图7 条件数倒数分布图Fig.7 Distribution of the reciprocal of condition number

从图7可得出, 随着机构逐渐运动达到工作空间的极限位置, 条件数稳步增大, 变化平稳, 没有突变的峰值, 图中显示条件数倒数最大值为0.945 2, 最小值为0, 保证了机构在局部工作空间及整个工作空间内具有良好的灵巧度指数.

4.3 奇异性分析

奇异是所有机构都会发生的一种不可回避的现象.根据Gosselin等[16]对闭环运动链奇异性能分析理论, 机器人的奇异性可分为3类:逆运动学奇异、正运动学奇异和约束奇异.前两者可通过雅可比矩阵的秩来判断, 最后一个则取决于在规定工作空间内支链对末端操作装置约束力的改变.实际上, 对于本机构来说, 约束奇异当且仅当发生在串联运动支链的3个转动副轴线共面时, 即灌注装置灌注边界时.采用雅可比代数法对前两者奇异类型进行分析, 即当矩阵Ji行列式为零时机构将发生逆运动学奇异, 当矩阵Jo降秩时机构将发生正运动学奇异.

由以上分析方法, 通过对工作空间搜索, 可以得到在此工作空间下矩阵Ji、矩阵Jo的行列式值, 矩阵行列式为0的位置分别为逆运动学奇异和正运动学奇异的位置, 如图8~图10所示.

图8 矩阵Ji的行列式值分布图Fig.8 Determinant distribution of matrix Ji

图9 矩阵Jo的行列式值分布图Fig.9 Determinant distribution of matrix Jo

图10 矩阵Jo的行列式值等高线分布图Fig.10 Determinant contour distribution of matrix Jo

由图8可知, 逆运动学奇异主要发生在该工作空间区域的边界, 即灌注边界上蜂窝时, 串联支链的3个转动副轴线共面, 此时机构处于约束奇异的位置; 由图9可知, 矩阵Jo的行列式为0的点为空间的2条曲线.

图10为矩阵Jo行列的等高线分布图, 发生并联奇异位置即为等高线为0的位置.通过分析可以得出, 在进行灌注作业的时候应尽量避免串并联奇异位置, 以保证灌注机器人的良好性能.

5 结论

1)采用多机器人操作的模式, 在保证灌注质量的同时, 提高了灌注的效率并充分利用了球面并联机构末端操作器始终垂直于球面运动的特点, 能够满足特殊球冠面的工作要求.

2)通过建立运动学约束方程, 分析了球面并联机构的运动学反解, 并利用对约束方程求偏导数的方法建立了机构的雅可比矩阵, 在此基础上, 利用一种高效的数值正解算法分析了运动学正解.

3)通过对位置正解的分析得出灌注机器人的整个工作空间, 结果表明灌注机器人能够很好地进行蜂窝定位和灌注作业, 并能到达整个球面的工作空间, 为实现机器人的精确控制提供了理论基础.

4)基于雅可比矩阵对机构的灵巧性和奇异性进行分析, 研究结果表明, 在规定的工作空间内, 机构具有良好的运动性能, 适合大型球冠蜂窝灌注作业, 解决了人工灌注效率低的问题.

The authors have declared that no competing interests exist.

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