轻型抓取机器人的优化设计与路径规划

引用本文

郭盛, 于智远, 曲海波. 轻型抓取机器人的优化设计与路径规划[J]. 北京交通大学学报, 2017,41(1): 101-106.
GUO Sheng, YU Zhiyuan, QU Haibo. Optimize design and trajectory planning for light grasping robot[J]. JOURNAL OF BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY, 2017,41(1): 101-106.
Doi:10.11860/j.issn.1673-0291.2017.01.016 复制到剪切板

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轻型抓取机器人的优化设计与路径规划

郭盛, 于智远, 曲海波

北京交通大学机械与电子控制工程学院,北京 100044

第一作者:郭盛(1972—),男,内蒙古呼和浩特人,教授,博士,博士生导师.研究方向为机器人机构学.email:shguo@bjtu.edu.cn

收稿日期: 2015-12-22

基金: 国家自然科学基金(51505023,51475035)

摘要

针对一种轻型抓取机器人,对其进行了构型优化设计和相关工作路径的研究.在各臂旋转到同一条直线上时,以对各个关节的转动惯量最小为优化目标,得出轻型抓取机器人各臂的最优臂长,并针对抓取时的稳定性进行了设计. 运用三次多项式对机器人的点到点运动和有中间点的运动进行了轨迹规划,得到了各个关节的位移和角速度方程,并用实例进行了计算. 利用Matlab Robotics工具箱对轨迹规划的结果进行了验证.

关键词: 抓取机器人; 优化; 轨迹规划; Matlab Robotics工具箱

中图分类号:TH112 文献标志码:A

Optimize design and trajectory planning for light grasping robot

GUO Sheng, YU Zhiyuan, QU Haibo

School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China

Fund:National Natural Science Foundation of China(51505023,51475035)

Abstract

The paper does the research of optimize design and trajectory planning on light grasping robot. The optimization objective is to minimize the moment of inertia that the arm exerts on every joint when all of the arms rotate to a line. The optimal length of each arms of the grasping robot could be obtained. The grasping ability and grasping stability of the grasping robot are optimized. The trajectory planning has been done in the circumstances of movement of point-to-point and movement with middle point. The functions of angular velocity and angular acceleration could be achieved. The correctness of the trajectory planning has been validated with the Matlab Robotics Toolbox.

Keyword: grasping robot; optimization; trajectory planning; Matlab Robotics Toolbox

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抓取机器人作为工业生产线上最常见的机器人, 是工件抓取、搬运、装配及码垛的主要工具.抓取操作就是要在极短的时间内将目标物体从一个位置搬运到另一个位置, 某些情况下还要同时完成对目标物体的姿态的调整.

对于轻型抓取机器人, 国内外许多学者已经做过许多研究, 轻型抓取机器人在设计、制造方面都有了很大的突破.在SCARA机器人运动学和动力学方面, 王科等^[1]提出了以旋量、李群李代数为基础进行SCARA机器人的正解、逆解和雅克比矩阵的求解方法.并在此基础上, 基于旋量理论, 结合了拉格朗日法和牛顿-欧拉法的优点, 建立了SCARA机器人的动力学模型, 并进行了求解, 得到了SCARA机器人的动力学方程参数. 针对SCARA机器人的轨迹规划问题, 赵登步等^[2]提出一种基于时滞指数函数的速度轨迹规划方法.通过与S形速度轨迹规划方法的对比发现其计算量较小, 产生的轨迹连续平滑.左富勇等^[3]利用Matlab Robotics工具箱, 对SCARA机器人进行了轨迹规划与仿真.Pajak^[4]提出了一种针对末端执行器振动的无碰撞的移动机械臂的点对点轨迹规划方法, 在减小末端执行器振动的同时提高了定位精度.上述轨迹规划的方法均存在一定的局限性, 导致了总的规划时间较长, 精度较差等.

针对SCARA机器人优化设计问题, Mashagbeh^[5]基于MapleSim软件实现了对SCARA机器人阻尼和刚度的模拟, 对控制算法进行验证, 使机器人在投入使用前就能对其表现进行评估.Jean-Francois^[6]提出了一种新的设计SCARA机器人的方法, 这种方法考虑了机器人的几何和关节的重复性, 在保证工作空间和传感器成本不变的情况下, 使其获得了更好的可重复性.上述研究主要从定位精度、控制算法方面对SCARA机器人进行了优化, 对SCARA机器人的杆长尺寸考虑较少.

本文作者在给定的轻型抓取机器人的基础上首先建立了优化目标函数, 得到了大臂和小臂的最优化尺寸.其次, 设计了轻型抓取机器人的工作平台, 提高了其抓取的稳定性.然后, 利用三次多项式对机器人进行了轨迹规划.最后, 利用Matlab Robotics工具箱对规划的结果进行了验证.

1 轻型抓取机器人优化方法

1.1 轻型抓取机器人模型建立

本文所设计的轻型抓取机器人是由4个运动关节组成的一种水平搬运的机械手臂, 如图1所示. 3个转动关节轴线互相平行, 实现平面内定位和定向, 此外, 附加一个移动关节, 实现末端垂直运动.

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	图1 轻型抓取机器人机构图Fig.1 Structure of grasping robot

1.2 尺寸优化

由图1可知当抓取机器人的大臂臂长l₁和小臂臂长l₂展开呈一条直线的时候, 机器人对各个关节的转动惯量达到了最大值. 如果以最大的角加速度运动, 根据T=J· β (其中:T表示转矩; J表示转动惯量; β 表示角加速度)可以得出, 此时电机的转矩最大, 为了保证最大角加速度不变的同时减小电机的最大转矩, 就要保证大臂和小臂在这个位置的时候机器人对各关节的转动惯量最小^[7].

根据平行轴定理, 可以得到大臂和小臂绕关节1和关节2的转动惯量为

$\{\begin{array}{l} J_{1} = J_{G_{1}} + M_{1} {l^{2}}_{1} / 4 + J_{G_{2}} + M_{2} {(l_{1} + l_{2} / 2)}^{2} \\ J_{2} = J_{G_{2}} + M_{2} {l^{2}}_{2} / 4 \end{array} (1)$

式中: $J_{G_{i}}$ =M_i $l_{i}^{2}$ /12表示各臂绕自重心轴的转动惯量; M_i=ρ l_i表示各臂的质量, 其中, ρ 表示臂的线密度, 取ρ =1.

这是一个多目标最优化问题, 在此采用线性加权和法将多目标的优化问题转化为单目标的优化问题.因为J₁和J₂的数量级相同, 取加权因子ω _i= $\frac{1}{2}$ .因此, 目标函数为

$\begin{array}{l} \min f (l_{1}, l_{2}) = |\frac{J_{1}}{ω_{1}} + \frac{J_{2}}{ω_{2}}| = \\ \frac{{l^{3}}_{2}}{3} + \frac{{l^{3}}_{1}}{6} + \frac{{l^{2}}_{1} l_{2} + l_{1} {l^{2}}_{2}}{2} (2) \end{array}$

满足

$800 \leq l_{1} + l_{2} \leq 1000 (3)$

小臂末端在X-Y平面内与原点距离的平方为

$h^{2} = l_{1}^{2} + l_{2}^{2} + 2 l_{1} l_{2} \cos θ_{2} (4)$

因机器人结构限制, 小臂无法实现全周转动, 小臂运动范围为± 135° 且机器人底座半径为200 mm, 则

$h_{\min} \geq 200 (5)$

当θ ₂∈ [-135° , 135° ]时, 可以得到

$\{\begin{array}{l} h_{\max} = l_{1} + l_{2} \\ h_{\min} = \sqrt[]{{l^{2}}_{1} + {l^{2}}_{2} - \sqrt[]{2} l_{1} l_{2}} \end{array} (6)$

定义轻型抓取机器人工作空间性能指标为h=h_max-h_min, 要求抓取机器人工作空间大于500mm, 如图2所示, 则臂长应满足:

$h \geq 500 (7)$

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	图2 优化约束条件的确定Fig.2 Determination of the optimal constraint conditions

由此可得此优化设计的数学模型的约束条件为

$\{\begin{array}{l} l_{1} + l_{2} - 1000 \leq 0 \\ - l_{1} - l_{2} + 800 \leq 0 \\ 200 - h_{\min} \leq 0 \\ h \geq 500 \end{array} (8)$

目标函数可行域如图3所示.

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	图3 目标函数可行域Fig.3 Feasible region of the objective function

由式(2)、式(8)利用Matlab优化工具箱可以求出最优解为:l₁=410 mm, l₂=390 mm.

为了使抓取机器人在平台上工作时能够更加稳定, 可以通过调节两边的支撑柱的长度来调整整体的中心位置, 使其零力矩点落在支撑面内, 增加整体结构的稳定性^[8].同时, 行走机构可以使抓取机器人在非工作状态时自由移动, 具有更好的灵活性. 行走机构结构如图4所示.

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	图4 行走机构结构图Fig.4 Structure of the moving mechanism

2 轻型抓取机器人轨迹规划

对于设计的机器人要执行空间内点对点的抓取任务, 最简单的抓取路径是直线, 但要使抓取机器人末端走直线, 需同时协调控制2个电机, 这加大了对电机的控制难度, 而且走直线运动不平稳, 需要急转急停, 易磨损清扫臂零部件, 降低清扫臂的使用寿命.为了更好的完成抓取工作, 要对抓取机器人进行轨迹规划, 在满足机器人运动学的条件下, 获得连续、平滑的轨迹, 本文采用三次多项式进行轨迹规划^[9].

2.1 基于三次多项式的轨迹规划

关节空间的轨迹规划适用于抓取机器人手腕从空间的某一个位置运动到目标位置, 路径中无障碍物, 属于点到点的运动.运动要求机器人各关节在初始时刻和结束时刻的关节角速度和角加速度均为0.

首先建立两个关节的位移与时间三次多项式

$\begin{array}{l} θ_{i} = a_{0 i} + a_{1 i} t + a_{2 i} t^{2} + a_{3 i} t^{3} \\ (i = 1, 2) (9) \end{array}$

对式(9)求一阶导可以得到角速度与时间的函数, 求二阶导可以得到角加速度与时间的函数关系

$\{\begin{array}{l} {\overset{\cdot}{θ}}_{i} (t) = 3 a_{3 i} t^{2} + 2 a_{2 i} t + a_{1 i} \\ {\ddot{θ}}_{i} (t) = 6 a_{3 i} t + 2 a_{2 i} \end{array} (i = 1, 2) (10)$

通常, 操作臂需要通过某些中间点来避开障碍, 最终达到目标位置.与单目标点的情形类似, 中间点通常是用工具坐标系相对于工作台坐标的期望位姿来确定的, 应用逆运动学把中间点转换成一组期望的关节角.然后考虑每个关节求出平滑连接每个中间点的三次多项式.

建立两个关节在两个时间段内的位移与时间的三次多项式. 再根据已知的初始时刻关节1和关节2的关节角、中间时刻的关节1和关节2的关节角及结束时刻的关节1和关节2的关节角, 可以分别确定两个关节的位移与时间的三次多项式的系数.

2.2 数值计算

假设轻型抓取抓取机器人末端操作手从初始位置A(θ ₁_a=0° , θ ₂_a=0° )运动到结束位置B(θ ₁_b=100° , θ ₂_b=90° ), 分别对点对点运动和有中间点的运动进行规划.

设点对点运动的运动时间t=2.5 s.

基于给定的关节角数值, 可以唯一确定两个关节的三次多项式, 将约束条件代入式(9)和式(10), 可得到关节1和关节2的运动函数如图5所示.

$\{\begin{array}{l} θ_{1 t} = 48 t^{2} - 12.8 t^{3} \\ θ_{2 t} = 43.2 t^{2} - 11.52 t^{3} \end{array} (11)$

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	图5 AB段关节1和关节2的位移Fig.5 Displacement of each joint diagram in AB segment

对式(11)求一阶导数可以得到各个关节速度的函数如图6所示.

$\{\begin{array}{l} {\overset{\cdot}{θ}}_{1} (t) = 96 t - 38.4 t^{2} \\ {\overset{\cdot}{θ}}_{2} (t) = 86.4 t - 34.56 t^{2} \end{array} (12)$

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	图6 AB段关节1和关节2的角速度Fig.6 Angular velocity of each joint diagram in AB segment

具有中间点的运动时, 在中间位置O点时, 关节1和关节2的关节角(θ ₁_o=45° , θ ₂_o=80° ), 起始位置到中间位置运动时间t₁=1.5 s, 从中间位置到结束位置运动时间t₂=1.5 s.

基于给定的关节角数值可以唯一确定两个关节的运动函数如图7所示.

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	图7 AOB段关节1和关节2的位移Fig.7 Displacement of each joint diagram in AOB segment

关节1从A运动到B:

$θ_{1 t} = 26.7 t^{2} - 4.4 t^{3} (13)$

关节1从O运动到B:

$θ_{1 t} = 45 + 50 t + 6.7 t^{2} - 10.4 t^{3} (14)$

关节2从A运动到O:

$θ_{2 t} = 76.7 t^{2} - 27.4 t^{3} (15)$

关节2从O运动到B:

$θ_{2 t} = 80 + 45 t - 46.7 t^{2} + 14 t^{3} (16)$

对式(13)、式 (14) 、式 (15)和式 (16)求一阶导数可以得到各个关节速度的函数如图8所示.

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	图8 AOB段关节1和关节2的角速度Fig.8 Angular velocity of each joint diagram in AOB segment

关节1从A运动到O:

${\overset{\cdot}{θ}}_{1 t} = 53.4 t - 13.2 t^{2} (17)$

关节1从O运动到B:

${\overset{\cdot}{θ}}_{1 t} = 50 + 13.4 t - 31.2 t^{2} (18)$

关节2从A运动到O:

${\overset{\cdot}{θ}}_{2 t} = 153.4 t - 82.2 t^{2} (19)$

关节2从O运动到B:

${\overset{\cdot}{θ}}_{2 t} = 45 - 93.4 t + 42 t^{2} (20)$

3 基于Matlab的轨迹规划验证

用Matlab Robotics工具箱对本文所设计的抓取取机器人进行运动轨迹仿真, 首先应建立相应的机器人对象如图9所示, 程序为

$\begin{array}{l} l_{1} = link ([\begin{array}{l} 0 & 0 & 565 & 0 \end{array}],'mod'); \\ l_{2} = link ([\begin{array}{l} 0 & 410 & 0 & 0 \end{array}],'mod'); \\ l_{3} = link ([\begin{array}{l} 0 & 390 & 0 & 0 \end{array}],'mod'); \\ l_{4} = link ([\begin{array}{l} 0 & 0 & - 420 & 0 \end{array}],'mod'); \\ r = robot ({l_{1} l_{2} l_{3} l_{4}},'') . \end{array}$

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	图9 抓取机器人Fig.9 Grasping robot based in Matlab

构建完成后, 可通过drivebot函数来驱动抓取机器人的运动, 通过控制滑块的位置可以实现关节的转动和移动^[10].驱动界面如图10所示.

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	图10 抓取机器人关节驱动图Fig.10 Joint diriver of grasping robot in Matlab

采用Matlab Robotics工具箱的[q, q_d, q_dd]=jtraj(q^a, a^b, t)命令对抓取机器人进行仿真.对于无障碍的点对点运动, jtraj函数采用的是7次多项式插值, 默认初始和终止速度为0.

关节1和关节2的位移、角速度和角加速度曲线如图11所示, 机器人在终止时刻的位置如图12所示.

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	图11 AB段各关节的位移、角速度、加速度图Fig.11 Displacement angular velocity and angularacceleration of each joint diagram in AB segment

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	图12 AB段终止时刻抓取机器人的位置Fig.12 Position of grasping robot at the end of the AB segment

由图11(b)可以看出, 关节1和 2的角速度为一条光滑且连续的曲线, 并且起始结束时刻的角速度均为0.因此, AB段轨迹整体运行平稳.图12显示了在终止时刻, 抓取机器人的位置.

4 结论

1) 对所研究的抓取机器人进行了杆长的最优化设计, 使机器人对各个关节的转动惯量最小, 并设计了轻型抓取机器人的工作平台以提高其抓取稳定性.

2) 对机器人手臂进行了轨迹规划, 抓取机器人臂各关节速度、位置均变化连续且平缓, 无振荡现象, 避免了运动过程中的关节失控.

3) 利用Matlab软件的Robotics工具箱对轻型抓取机器人进行了轨迹规划, 验证了基于三次多项式的轻型抓取机器人轨迹规划的正确性.

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献

文献列表

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WANG

. Research on SCARA robot based on screw theory and Lie algebra[D]. Hangzhou: Zhejiang University, 2010. (in Chinese)

SCARA运动学的研究中,以旋量,李群李代数为基础的POE指数积法求解运动学正解,逆解以及速度雅可比。逆解中采用代数的方法求解封闭解,得出了逆解方程。以POE指数积方法求解中,因为坐标系的建立,以及相应坐标系之间的位置关系都以旋量描述,使得整个求解过程较传统的求解方法更为简单。以雅可比矩阵为基础,对SCARA的奇异性进行分析。根据SCARA机器人独特的机构形式进行了必要的简化,找出其完全展开的边界为奇异。SCARA的奇异性分析中,发现SCARA的奇异性分析更加类似于平面二连杆的求解。将旋量理论引入误差分析,建立机器人运动学的误差旋量模型,分析误差源在执行端所造成的误差空间的特点。引入等效半径的误差敏度评价体系,分析不同量纲误差对执行端误差空间的影响。通过对单独误差及总的误差空间的评价与分析,给不同精度要求的工业机器人设计提供有效的理论支持。轨迹规划中,分析了关节空间的多项式插值的优缺点。最终以余弦函数对惯性空间的规划轨迹进行插值离散。经插值后关节空间的速度和加速度的线图轨迹平滑。应用旋量理论建立SCARA机器人的运动学模型,并以此为基础建立动力学模型。此方法融合了拉格朗日,牛顿—欧拉法以及旋量的特点,易于求解。简要讨论动力学与机器人控制、设计的关系。

... 在SCARA机器人运动学和动力学方面,王科等^[1]提出了以旋量、李群李代数为基础进行SCARA机器人的正解、逆解和雅克比矩阵的求解方法 ...

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ZHAO

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Ruilin

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ZUO

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, XIE

, et al. Trajectory planning and simulation of SCARA robot based on MATLAB-Robotics toolbox[J]. Journal of Hunan University of Science & Technology: Natural Science Edition, 2012, 27(2): 41-44. (in Chinese)

为研究SCARA机器人的轨迹规划,在MATLAB环境下,对该机器人运动学参数进行了设计,利用Robotics toolbox工具箱编制了简单的程序语句,建立该机器人运动学模型,讨论了标准D-H参数和改进D-H参数建模方法的区别,并对机器人的轨迹规划进行了仿真.通过仿真,直观地显示了机器人关节的运动,得到了连续平滑的机器人关节角度轨迹曲线.仿真实验表明,所设计的运动学参数是正确的,从而达到了预定的目标.该工具箱可以对机器人进行图形仿真,分析真实机器人控制时的数据结果,对机器人的研究开发具有较高的经济实用价值.

... 左富勇等^[3]利用Matlab Robotics工具箱,对SCARA机器人进行了轨迹规划与仿真 ...

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2011

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GUO

Sheng

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... 表示角加速度)可以得出,此时电机的转矩最大,为了保证最大角加速度不变的同时减小电机的最大转矩,就要保证大臂和小臂在这个位置的时候机器人对各关节的转动惯量最小^[7] ...

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, et al. Gait planning of humanoid robot based on ZMP[J]. Robot, 2001, 23(6): 504-508. (in Chinese)

拟人机器人具有广阔的应用前景,研制工作得到了各国的重视,近年来已取得巨大的进展,但仍存在大量的理论和技术问题有待深入研究,基于零力矩点(ZMP)的轨迹规划是需解决的关键技术之一.本文比较分析了一般的双足步行机与拟人机器人的步态规划特点和基于双足步行的两步规划方法,提出了一种适用于拟人机器人步态规划的新方法--逆两步规划法,仿真研究表明采用这种方法规划ZMP轨迹是可行的.

... 为了使抓取机器人在平台上工作时能够更加稳定,可以通过调节两边的支撑柱的长度来调整整体的中心位置,使其零力矩点落在支撑面内,增加整体结构的稳定性^[8] ...

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... 为了更好的完成抓取工作,要对抓取机器人进行轨迹规划,在满足机器人运动学的条件下,获得连续、平滑的轨迹,本文采用三次多项式进行轨迹规划^[9] ...

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... 构建完成后,可通过drivebot函数来驱动抓取机器人的运动,通过控制滑块的位置可以实现关节的转动和移动^[10] ...